根据您提供的信息，数列\(\{a_n\}\)的定义如下：

- 初始条件：\(a_1 = 1\)
- 递推关系：\(a_{n+1} = 2a_n + 1\) （对于所有\(n \geq 1\)）

我们可以使用这个递推关系来计算数列的前几项，以寻找规律或直接解决问题。

首先，我们知道\(a_1 = 1\)。

接下来计算\(a_2\)：
\[a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\]

然后是\(a_3\)：
\[a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\]

继续计算\(a_4\)：
\[a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15\]

从上面的计算中，我们观察到数列的每一项似乎都是前一项的两倍加一。这暗示了数列的通项公式可能与\(2^n\)有关。实际上，通过进一步的数学归纳法证明或者更深入的分析，可以发现该序列的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)。

这一结论可以通过数学归纳法来证明：
- 当\(n = 1\)时，显然成立，因为\(a_1 = 2^1 - 1 = 1\)。
- 假设对于某个\(k \geq 1\)，\(a_k = 2^k - 1\)成立，则有：
\[a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1\]
这表明如果对\(k\)成立，则对\(k+1\)也成立。

因此，数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)。