根据中华人民共和国监察法第四十九条的规定，监察对象对监察机关作出的涉及本人的处理决定不服的，可以向作出决定的监察机关申请复审；对复审决定仍不服的，可以向上一级监察机关申请复核。上一级监察机关的复核决定是最终决定。

因此，受理申诉的监察机关应该按照以下步骤进行：

1. **受理**：收到申诉后，应正式受理，并告知申诉人。
2. **审查**：对原处理决定的事实认定、证据采信、适用法律及程序等方面进行全面审查。
3. **决定**：依据审查结果作出复审或复核决定，并将决定书面通知申诉人。

具体流程和时间限制可能因个案不同而有所差异，但总体原则是公正、公平地处理申诉，保障被调查人的合法权益。如果对复审决定不满，可以在规定时间内向上一级监察机关提出复核申请。