海事法院在处理案件过程中，向当事人送达起诉状或答辩状是诉讼程序中的一个重要环节。具体操作通常包括以下几个步骤：

1. 确定送达方式：根据中国民事诉讼法的规定，送达方式主要有直接送达、留置送达、委托送达、邮寄送达和公告送达等。对于海事法院来说，由于涉及的案件可能具有一定的特殊性（如涉外因素），因此可能会采用更为灵活的方式确保当事人的知情权。

2. 准备法律文书：海事法院需要准备好起诉状或答辩状的正式文本，并确保这些文件的内容完整、准确无误。

3. 实际送达：根据具体情况选择合适的送达方式。例如，如果当事人位于法院附近且易于联系，则可以采取直接送达的方式；如果当事人不在本地或者无法直接联系到，则可能需要采用邮寄送达或其他方式。

4. 确认送达情况：无论是通过哪种方式送达，都需要有相应的记录来证明已经成功送达给了当事人。这可能包括收件人签字确认、邮件回执单等证据材料。

5. 处理送达失败的情况：如果尝试了多种送达方式后仍然未能成功送达，那么海事法院可能需要考虑采取公告送达等方式，以确保诉讼程序能够顺利进行。

在整个过程中，海事法院应当遵循相关法律法规的要求，确保程序正当合法，保障当事人的合法权益。同时，为了提高效率和准确性，现代技术手段（如电子邮件、电子送达系统）也可能被用于辅助完成送达任务。